约瑟夫环问题

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

1#include<stdio.h>
2intmain()
3{
4intn,m,i,s=0;
5printf("NM=");
6scanf("%d%d",&n,&m);
7for(i=2;i<=n;i++)
8{
9s=(s+m)%i;
10}
11printf("\nThewinneris%d\n",s+1);
12}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

用遍历的方法：

#include <iostream>
using namespace std;
int K;
int getPos(int a[],int m,int index){
	int num=0;
	while(num<m){
		index++;
		if(index>2*K-1)
			index=0;
		if(!a[index])
			num++;
	}
	return index;
}
int main(){
	int a[50];
	while(true){
		cin>>K;
		if(K==0)
			break;
		else{
			int m;
			for(m=2;;m++){
				int p=-1;
				for(int i=0;i<50;i++)
					a[i]=0;
				int n;
				for(n=1;n<=K;n++){
					int pos=getPos(a,m,p);
					a[pos]=1;
					p=pos;
					if(pos<K)
						break;
				}
				if(n>K)
					break;
			}
			cout<<m<<endl;
		}
	}
}